爱因斯坦的质能方程怎么推导出来的?
▍爱因斯坦的质能方程怎么推导出来的?
本文较为硬核,请酌情跳过部分内容。
你之前看到的推导过程基本上从一开始就错了。
网上流传的推导方法很多,不过几乎都不是爱因斯坦在1905年的论文中的推导过程。
既然问题中提到了“爱因斯坦的质能方程”,那我就介绍一下爱因斯坦本人的推导方法。这种推导方法非常简单,而且能很好地反应出物理学各个分支的统一性。
然后再谈一下典型的反面教材,也就是从质速关系开始推导的方法,这种推导方法流传甚广,但却是在循环论证。
爱因斯坦的最初推导
物体的惯性同它所包含的能量有关吗?
这是爱因斯坦在1905年写的一篇论文的标题,其中有一个简单的推导过程,不过为了让大家看得更明白,本文把推导过程进一步简化并加入一些额外的说明。
这与原文有出入,但是思路是一样的。
想象一个物体,在某个参考系(参考系1)中静止,此时它的能量是E0,然后它向两个相反的方向各发射了一个光子,这两个光子的能量相同,两个光子的总能量是L。
两个光子的能量相同,就说明动量也相同,所以物体依然静止,发射光子之后的物体的能量是E1。
现在换一个参考系(参考系2),重新看待上面的过程。在这个参考系中物体原本做匀速直线运动,能量是H0,然后它向运动方向的前后各发射了一个光子。
发射光子之后的物体依然做匀速直线运动,此时物体的能量是H1。
接下来就要把两个参考系中的能量守恒方程联系起来,联系的途径就是光。
光子的能量和频率成正比,这就是普朗克公式,具有普遍意义,在这里可以使用(别以为这个公式只能在量子力学里出现)。
在参考系1中,两个光子的能量相同,所以频率也相同。而在参考系2中,光会产生多普勒效应,这会使参考系2中的光子频率和参考系1中的光子频率不同。
不同参考系中的光的频率的计算公式可以用简单的分析和“钟慢效应”的公式得到,在这里就直接使用了,感兴趣的读者可以看我之前写的文章,评论区里会附上链接。
根据普朗克公式可以知道,光子的能量之比就等于频率之比,这就可以让参考系1和参考系2中的光子能量建立联系。
我们可以重新写出两个参考系中的能量守恒方程:
然后就需要做一些近似,把参考系2中的光子能量公式做一个被称为“麦克劳林展开”的操作,大家不必对这个操作感到恐慌,其实我们常用的十进制数字就使用了类似的思想。
做了近似之后,经典力学中的动能公式也可以借用一下,物体在参考系2中的能量应该比参考系1中的能量多了动能。
然后我们就可以发现其中的一个式子似乎可以理解成质量。
物体发射光子,不仅发出了能量,还发出了质量,并且发出的能量和质量之比是光速的平方!
没有简单的严格推导
上面的推导过程可能让很多读者都无法满意,这很正常,因为它本身就不是一个严谨的推导过程,仅仅只是相对论力学的萌芽时期的探索。
爱因斯坦在1907年的论文(关于相对性原理和由此得出的结论)里面写了严格的推导过程,不过很复杂。
所有严格的推导过程都要用到麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式,“动体的电动力学”可不是白叫的,没有受过专门的训练是理解不了的,在这里就不提了。
典型的反面教材(质速关系)
大部分人都在使用下面这张图片的推导过程,把质速关系式当成了前提条件。
那么质速关系式是怎么推导出来的?
有些人会说:
为了在相对论的速度叠加公式下保证不同参考系中的动量守恒定律都成立,要让质量随速度变化,得出质速关系式。
不过大部分这么说的人只是说说而已,根本不展示具体的推导过程。我也从没见过有人真的按照这个思路推导出质速关系式。
当然,有人真的按照这个思路做过推导,不过是在瞎推导,推导过程中,质量一会儿与速度有关,一会儿又与速度无关,纯粹是胡乱凑出了质速关系式。
注意,用上面的思路是推导不出质速关系的,要是能推导出来就违背相对论了(具体内容在下一小节介绍)。
而且质速关系式是在质能方程提出之后才有的,也就是说质速关系式是质能方程的推论。
你没看错,质速关系式是质能方程的推论!
所以从质速关系式开始推导质能方程的方法都是在循环论证。很多人把注意力都放在了推导过程中的微积分上面,根本就没有考虑前提条件合不合理。
动量四矢量
在这里要具体谈一谈上面挖的坑了:
为什么用动量守恒推导不出质速关系式?
注意,上面说的动量守恒指的是经典力学中的动量守恒。当然,这也是很正常的事,因为相对论力学已经包含了质能方程,如果用相对论力学中的“动量守恒”去推导,又是循环论证。
动不动就是循环论证,从零开始推导的难度可想而知。这也是爱因斯坦在1905年就提出“质能等价”的思想,却在1907年的论文里才写出严格推导过程的原因。
经典力学的动量守恒和相对论力学的动量守恒的最大区别就是:
经典力学中的动量守恒和能量守恒是独立的,考虑动量守恒的时候可以不考虑能量守恒。
相对论力学中的动量守恒和能量守恒是相互关联的,考虑动量守恒的时候必须考虑能量守恒。
相对论是用“四维的语言”书写的,就像三个空间维度和一个时间维度组成“四维时空”一样,动量和能量组成了“动量四矢量”。
参考系改变时,动量四矢量也会改变,不同参考系中的动量四矢量之间的变换是洛伦兹变换。
就像下图展示的一样,新的参考系中的动量与旧的参考系中的能量有关,新的参考系中的能量也与旧的参考系中的动量有关。
也就是说,在不同参考系中考虑动量守恒的时候,也一定要把能量守恒考虑进去。
所以用经典力学的方法,单纯考虑不同参考系中的动量守恒根本就推导不出质速关系式。
写在最后
质能方程并不是一个可以轻易推导出来的公式。在物理学中,很多知识都是没法速成的,你以为的捷径,往往是陷阱。
凡事还是要脚踏实地,尤其是对待物理学。
▍爱因斯坦的质能方程怎么推导出来的?
答:利用洛伦兹变换,很容易推导出质能方程。
质能方程是爱因斯坦,在1905年发表的论文《物体惯性时候决定其内能?》中提出来的,描述了物质的质量和能量之间的关系。
利用相对论质增关系,然后结合动量定理和动能定理,就可以推导出质能方程。
相对论动能E=mc^2-m0c^2=Δmc^2,其中Δm=m-m0。
描述:一个物体包含的总能量,可以分为相对论质增效应的能量,和一个固有能量m0c^2。
其中m0是静止质量,暗示着拥有微小质量的物体,也可能包含着巨大的能量,因为其中的光速c是一个很大的数。
质能方程是物理学中非常重要的公式,能够解释很多物理学本质上的东西,比如一个物体的动能,在低速时,就近似成为牛顿力学动能公式。
质能方程深刻揭示了能量和质量的关系,在牛顿力学中,质量和能量是两个完全不同的概念,在各自领域对应着质量守恒和能量守恒。
但是质量方程把两者统一了起来,使之变成了质能守恒;比如在重原子衰变当中,就伴随着能量的释放和质量的亏损,就精确地遵循着质能方程。
好啦!我的答案就到这里,喜欢我们答案的读者朋友,记得点击关注我们——艾伯史密斯!
▍爱因斯坦的质能方程怎么推导出来的?
首先我来说说,如何不用推导就能得到质能关系的大致形式。按照量纲分析,动能的量纲等于质量量纲乘以速度量纲平方。所以动能关系式只能是下面这种形式(注意,下面这个形式是从牛顿力学出发得到的,后面的分析可以看出相对论和牛顿力学的关系很密切):
在牛顿力学里,k=1/2,而且这里v就是质点的速度。
但是狭义相对论要求有光速出现,所以k与v中必须出现光速。那么一个自然的想法,就是把这里的v写成c(c是真空光速)。但是这样的话,质点的速度u只在k里出现。因而有
很明显,当速度u趋于0的时候,上式必须近似为牛顿力学的结果。那么,该如何求出这里的k呢?这里需要用点小技巧,那就是dE/du=p,且u<<c时,p=mu。那么,有
两边积分有
注意这里不能认为k的表达式就是上式,否则就退回到经典力学了。剩下的,只能通过具体计算给出形式。
我在之前的一次回答中,推导了这个公式。方法其实有很多种,具体的做法也各不尽相同。但是都离不开微积分。我在高中的时候,自己推这个公式的时候,发现了三种方法。第一种方法从质速关系出发,平方该式子,然后用能量动量的微分关系,就可以推出质能关系。第二种方法是从能量动量积分关系出发,把质速关系直接带入积分,也可以推导出来。这两种方法其实是一样的。第三种方法,是考察协变性,得到四动量平方是相对论不变量,进而给出它在数值上等于质点的质量平方,然后代入能量动量微分关系式,也能给出质能关系。这是我高中时候无聊证着玩的时候发现的一些小技巧,雕虫小技。下面我展示一种推导方法。考虑一维运动的能量有
代入质速关系有
第二个等号后面的可以直接积出来,有
化简就得到了质能关系。注意这里积出来的是一个不定积分式如果要获得粒子的动能,还要让这个式子减去速度为0的能量,那么就可以得到动能关系式了。
当年爱因斯坦根据电磁理论推导出了电子的质能关系。稍后他又将之推广到一切粒子,当然在无引力的前提下。
可以验证,质能关系给出的动能关系式的系数的确满足我们之前的分析。
这里要说一句很遗憾,据我说知,目前质能关系只能借助微积分才能推导出来。或者说我还不知道,有没有人不用微积分就能推出这个关系式的。
现在很清楚了,质能关系里面的光速平方是物理量纲和动力学方程双重要求的结果。
▍爱因斯坦的质能方程怎么推导出来的?
谢邀。
质能方程的推导需要用到狭义相对论中的质速关系(从洛伦兹变换中得到):
质速关系表明,物体的惯性质量并非一个不变的常数,而是会随着速度v的加快而变大。当速度v趋于光速c时,原本静质量只有m0的物体,运动质量m会增大到无穷。这也是为什么对于那些拥有静质量的物体,光速是不可能达到的极限;而对于那些没有静质量的物体,光速就是它们的唯一所能运动的速度。
由于惯性质量会发生变化,所以需要对牛顿第二运动定律进行拓展:
结合上述两式,可以计算出物体在速度为v时所具有的动能:
在上式中,mc^2表示物体在速度为v时所具有的能量,m0c^2表示物体在相对静止时所具有的能量。于是,就能得到质能方程:E=mc^2。
从质能方程中可以看出,质量和能量在本质上是等价的。质量在某些情况下会转变为能量,例如,核裂变、核聚变和湮灭反应。反过来,能量在某些情况下也会转变为质量,例如,布莱特-惠勒过程、宇宙创生过程。
此外,需要注意的是,质能方程并非促使原子弹的诞生,而是人们制造出原子弹之后,利用该方程解释了原子弹的机理。不过,爱因斯坦对于原子弹的诞生还是起到了作用,因为他当年与另一位物理学家西拉德(核链式反应的真正提出者)联名写信给罗斯福总统,这多少促成了后来的曼哈顿计划。
▍爱因斯坦的质能方程怎么推导出来的?
我试着详细的回答,看能不能说的明白。依据高中数学和物理的基础知识:1、高中数学已经学过导数的概念,2、高中物理已经学过原子物理的知识,3、或者自学过高等数学的知识。
第一种解释
让光子撞击理想的膜,速度全部转化成能量。冲量等于动量的变化,推导如下:
第二种解释
推导如下:
第三种解释有点烧脑哦
先上基础知识,高中是学过导数和积分概念的,只是知道的公式不多,好在网上有许多的公式,可以查的到。
不懂的话可以看高数的书哦。
先求微小的能量变化,用微分表示:
一个式子求不出来,再来一个式子,关于静止质量与动质量转换的。
等号左边与右边同时对速度求导,为什么不对时间求导呢?因为啊,在相对论中,时间不能作为标准,速度作为标准,在我的问答中有相关说明,可以去看看。
两个式子要联立了哟。
推导完毕。
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